一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分).
1.过正三棱柱底面一边的截面是 ( )
A.三角形 B.三角形或梯形
C.不是梯形的四边形 D.梯形
2.若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥
3.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 ( )
A. B.1 C.2 D.3
4.将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了 ( )
A. B.12a2 C.18a2 D.24a2
5.直三棱柱各侧棱和底面边长均为a,点D是CC′上任意一点,连结A′B,BD,A′D,AD,则三棱锥A—A′BD的体积 ( )
A. B. C. D.
6.两个球体积之和为12π,且这两个球大圆周长之和为6π,那么这两球半径之差是( )
A. B.1 C.2 D.3
7.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比( )
A.2:3:5 B.2:3:4 C.3:5:8 D.4:6:9
8.直径为10cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2cm的削球,如果不计损耗,可
铸成这样的小球的个数为 ( )
A.5 B.15 C.25 D.125
9.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为 ( )
A. B. C. D.
10.中心角为135°的扇形,其面积为B,其围成的圆锥的全面积为A,则A:B为( )
A.11:8 B.3:8 C.8:3 D.13:8
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分).
11.直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 ,直平行六面体的侧面积为_____________.
12.正六棱锥的高为4cm,最长的对角线为 cm,则它的侧面积为_________.
13.球的表面积扩大为原来的4倍,则它的体积扩大为原来的___________倍.
14.已知正三棱锥的侧面积为18 cm ,高为3cm. 求它的体积 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15.(12分)
①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱.
已知:等边圆柱的底面半径为r,求:全面积;
②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.
已知:等边圆锥底面半径为r,求:全面积.
16.(12分)四边形 ,绕y轴旋转一周,求所得
旋转体的体积.
17.(12分)如图,圆锥形封闭容器,高为h,圆锥内水面高为 若将圆锥倒置后,
圆锥内水面高为
18.(12分)如图,三棱柱 上一点,求 .
19.(14分)如图,在正四棱台内,以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知棱台小底面边长为b,大底面边长为a,并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等,求这个棱锥的高,并指出有解的条件.
20.(14分)已知:一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大.
参考答案(三)
一、BDDBC BDDBA
二、11. ; 12. cm ; 13.8; 14. cm3.
三、15.①解:
②解:
16.解:
17.分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体,它们的体积之比为对应高的立方比.
解:
小结:此题若用 计算是比较麻烦的,因为台体的上底面半径还需用 导出来,我们用 的体积之间有比例关系,可以直接求出.
18.解法一:设 的距离为
把三棱柱 为相邻侧面的平行六面体,此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍.
解法二:
小结:把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法,平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底,有利于体积变换.
19.分析:这是一个棱台与棱锥的组合体问题,也是立体几何常见的问题,这类问题的图形往往比较复杂,要认真分析各有关量的位置和大小关系,因为它们的各量之间的关系较密切,所以常引入方程、函数的知识去解.
解:如图,过高 的中点E作棱锥和棱台的截面,得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高为EO1,设 ,所以
①式两边平方,把②代入得:
显然,由于 ,所以此题当且仅当 时才有解.
小结:在棱台的问题中,如果与棱台的斜高有关,则常应用通过高和斜高的截面,如果和棱台的侧棱有关,则需要应用通过侧棱和高的截面,要熟悉这些截面中直角梯形的各元素,进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算,这是解棱台计算问题的基本技能之一.
20.解:(1)设内接圆柱底面半径为r.
②代入①
(2)
编辑者:长沙家教(长沙家教网)