一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．函数 的定义域为
A． B． C． D．
2．如果点 在以点 为焦点的抛物线 上，则
A． B． C． D．
3．命题 ： ；命题 ： ， ，则下列命题中为真命题的是
A． B．
C． D．
4．在△ 中， ， ， ，
则△ 的面积等于
A． B．
C． 或 D． 或
5．执行如图所示的程序框图，输出结果是 ．
若 ，则 所有可能的取值为
A． B．
C． D．
6．已知正方形的四个顶点分别为 ， ， ， ，点 分别在线段 上运动，且 ，设 与 交于点 ，则点 的轨迹方程是
A． B．
C． D．
7．已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D． 1
8．已知数列 满足 下面说法正确的是
①当 时，数列 为递减数列；
②当 时，数列 不一定有最大项；
③当 时，数列 为递减数列；
④当 为正整数时，数列 必有两项相等的最大项.
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．
9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名 学生中阅读时间在 小时内的人数为_____．
10．在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 ．
11．直线 与圆 相交于 , 两点，若 ，则实数 的值
是_____．
12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．
13．实数 满足 若 恒成立，则实数 的最大值是 ．
14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．
如： ；
；
．
已经证明：若 是质数，则 是完全数， .请写出一个四位完全数 ；又 ，所以 的所有正约数之和可表示为 ；
，所以 的所有正约数之和可表示为 ；
按此规律， 的所有正约数之和可表示为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本题满分13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小值；
（Ⅱ）若 ，求 的值．
16．（本题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 58 55 76 92 88
乙 65 82 87 85 95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为 ，求随机变量 的分布列和期望 ．
17．（本题满分14分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）设 分别为 的中点，点 为△ 内一点，且满足 ，
求证： ∥面 ；
（Ⅲ）若 ， ，
求二面角 的余弦值．
18．（本题满分13分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的极小值；
（Ⅱ）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．
19.已知椭圆 两焦点坐标分别为 , ，且经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）已知点 ，直线 与椭圆 交于两点 ．若△ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线 的方程．
20．（本题满分13分）
已知 是正数， ， ， ．
（Ⅰ）若 成等差数列，比较 与 的大小；
（Ⅱ）若 ，则 三个数中，哪个数最大，请说明理由；
（Ⅲ）若 ， ， （ ），且 ， ， 的整数部分分别是 求所有 的值．
编辑者：长沙家教（长沙家教网)
